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九点圆

九点共圆

九点圆

对任意三角形，其三边的中点、三条高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，这九点必共圆。这个圆被称为九点圆，也称欧拉圆、费尔巴哈圆。

九点共圆

说明：

  • 任意 △ABC\triangle ABC
  • 三边中点 DD、EE、FF
  • 三条高的垂足 LL、MM、NN，三垂线交点即垂心 HH
  • 垂心 HH 到三顶点连线的中点 PP、QQ、RR，PP 为 AHAH 中点，QQ 为 BHBH 中点，RR 为 CHCH 中点。
  • DD、EE、FF、LL、MM、NN、PP、QQ、RR 九点共圆，圆心为 O9O_9。

证明

如下图所示，DD、EE、FF 分别是三边中点，LL 是边 BCBC 上的垂足。

三角形三边中点和任一垂足共圆

先证明三角形三边中点和任一垂足四点共圆，即上图中的 D,E,F,LD, E, F, L 四点共圆。

三边中点 DD、EE、FF 可唯一确定一个圆。

由于 BD=CDBD = CD 且 AE=ECAE = EC，根据

，有： DE/ ⁣/ABDE \mathrel{/\!/} AB

同理可得 DF/ ⁣/ACDF \mathrel{/\!/} AC。由于两组对边分别平行，四边形 AEDFAEDF 为平行四边形，由平行四边形对角相等可得：

∠EDF=∠A\angle EDF = \angle A

接下来只需证明 ∠ELF=∠A\angle ELF = \angle A，即可根据同弧所对圆周角相等 (∠EDF=∠ELF)(\angle EDF = \angle ELF) 判定 D,E,F,LD, E, F, L 四点共圆。

因为 FLFL 是 Rt△ABL\text{Rt}\triangle ABL 斜边上的中线，由直角三角形斜边中线为斜边一半可得：

FL=BF  ⟹  ∠BLF=∠FBLFL = BF \implies \angle BLF = \angle FBL

同理可得 EL=CEEL = CE。则：

∠ELF=180∘−∠BLF−∠CLE=180∘−∠FBL−∠DCE=∠A\begin{aligned} \angle ELF &= 180^\circ - \angle BLF - \angle CLE \\ &= 180^\circ - \angle FBL - \angle DCE \\ &= \angle A \end{aligned}

因此 D,E,F,LD, E, F, L 四点共圆。

同理可知，点 D,E,M,FD, E, M, F 与 D,E,F,ND, E, F, N 亦分别四点共圆。因此 D,E,F,L,M,ND, E, F, L, M, N 六点共圆。

即：任意三角形的三边中点和三边垂足共圆。

再证明三角形三边垂足和任一顶点与垂心连线的中点四点共圆，即下图中的 L,M,P,NL, M, P, N 四点共圆。其中，L,M,NL, M, N 为三边垂足，PP 为顶点 AA 与垂心 HH 连线的中点，即 AP=PHAP = PH。

三角形三边垂足和任一顶点与垂心连线的中点四点共圆

要证 L,M,P,NL, M, P, N 四点共圆，只需证明 ∠MPN+∠MLN=90∘\angle MPN + \angle MLN = 90^\circ。

∠MPN=∠HPM+∠HPN=2∠HAN+2∠HAM=2∠A∠MLN=∠MLH+∠NLH=∠MCH+∠NBH=(90∘−∠A)+(90∘−∠A)=180∘−2∠A\begin{aligned} \angle MPN &= \angle HPM + \angle HPN \\ &= 2 \angle HAN + 2 \angle HAM \\ &= 2 \angle A \\ \angle MLN &= \angle MLH + \angle NLH \\ &= \angle MCH + \angle NBH \\ &= (90^\circ - \angle A) + (90^\circ - \angle A) \\ &= 180^\circ - 2\angle A \end{aligned}

因此有 ∠MPN+∠MLN=90∘\angle MPN + \angle MLN = 90^\circ，从而 L,M,P,NL, M, P, N 四点共圆。

同理 M,N,Q,LM, N, Q, L 四点共圆，N,L,R,MN, L, R, M 四点共圆，因此 L,M,N,P,Q,RL, M, N, P, Q, R 六点共圆。

即：三角形三边垂足和任一顶点与垂心连线的中点共圆。

综上即有三角形三边中点、三边垂足、三个顶点与垂心连线中点九点共圆。 □\square

特殊情形

等腰锐角三角形

当 △ABC\triangle ABC 为等腰锐角三角形 (非等边三角形，假定 AB=ACAB = AC) 时：

  • 底边 (BCBC) 上的中点 DD 和垂足 LL 重合 (D=LD = L)
  • 九点圆退化为八点圆
等腰锐角三角形中九点共圆退化为八点共圆

等边三角形

当 △ABC\triangle ABC 为等边三角形时：

  • 各边上的中点和垂足重合 (D=L,E=M,F=ND = L, E = M, F = N)
  • 九点圆退化为六点圆
等边三角形中九点共圆退化为六点共圆

直角三角形

当 △ABC\triangle ABC 为一般直角三角形 (假定直角顶点为 BB) 时：

  • 垂心 HH 与直角顶点 BB 重合
  • ABAB 边中点 FF 和 AHAH 中点 PP 重合 (F=PF = P)
  • BCBC 边中点 DD 和 CHCH 中点 RR 重合 (D=RD = R)
  • ABAB 边垂足 NN 和 BCBC 边垂足 LL 及 BHBH 中点 QQ 重合 (L=N=QL = N = Q)
  • 九点圆退化为五点圆：直角顶点 BB、ABAB 边中点、BCBC 边中点、ACAC 边中点、ACAC 边垂足。
一般直角三角形中九点共圆退化为五点共圆

如果 △ABC\triangle ABC 为等腰直角三角形，则 ACAC 边中点与ACAC 边垂足重合 (E=ME = M)，此时退化为四点圆。

等腰直角三角形中九点共圆退化为四点共圆

钝角三角形

当 △ABC\triangle ABC 为一般钝角三角形 (假定 ∠A\angle A 为钝角) 时：

  • 三边中点：仍在三角形的三条边上。
  • 从钝角顶点引出的高线垂足，落在三角形内部 (最长边上)。
  • 从两个锐角顶点引出的高线，必须延长对边才能相交，因此这两条高线垂足落在三角形外部 (两短边延长线上)。
  • 垂心与钝角顶点连线中点落在三角形内部。
  • 垂心与两个锐角顶点连线中点落在三角形外部。
一般钝角三角形中九点共圆

如果 △ABC\triangle ABC 为等腰钝角三角形，则最长边的中点和垂足重合 (D=LD = L)，此时退化为八点圆。

等腰钝角三角形中九点共圆

演示

提示:

  • 拖拽三角形顶点 AA 或 BB 或 CC 或输入其坐标以实时调整三角形并观察各点、九点圆、九点圆圆心变化
  • 拖拽三角形各边以实时调整三角形并观察各点、九点圆、九点圆圆心变化
  • 三角形顶点 A,B,CA, B, C 坐标可在右侧实时查看，其余点坐标可鼠标悬停或点击查看
A
B
C
九点共圆演示

性质

九点圆有以下重要性质：

  1. 九点圆圆心在欧拉线上, 事实上三角形重心、外心、垂心和九点圆圆心均在欧拉线上。
  2. 九点圆圆心为三角形垂心和三角形外心的中点。
  3. 九点圆的半径为三角形外接圆半径的一半。
  4. 九点圆与三角形的内切圆和三个旁切圆均相切，这些切点即费尔巴哈点。

欧拉线

三角形的重心 GG、外心 OO、垂心 HH 与九点圆圆心 O9O_9 四点共线，该直线即欧拉线。

对于非等边三角形，上述四个点的相对位置关系是固定的，遵循 O→G→O9→HO \to G \to O_9 \to H 的相对位置关系，且长度比例固定为：

OG:GO9:O9H=2:1:3OG : GO_9 : O_9H = 2 : 1 : 3

如已知 GG、OO、HH 和 O9O_9 四点中任意两点坐标即可根据长度比例关系计算其余两点坐标。

欧拉线上线段长度关系:
\begin{aligned} OG &\approx 0.33\\ GO_9 &\approx 0.17\\ O_9H &\approx 0.50 \end{aligned}
圆半径关系:
\begin{aligned} r(O_9) &\approx 1.72\\ r(O) &\approx 3.45 \end{aligned}
欧拉线演示

对于等边三角形：

  • 其重心 GG、外心 OO、垂心 HH 与九点圆圆心 O9O_9 四点重合，此时欧拉线退化为一个点。
  • 内心也与九点圆圆心重合, 即重心 GG、外心 OO、垂心 HH、内心 II 与九点圆圆心五点重合。
  • 外接圆、内切圆和九点圆三个圆为同心圆。

练习题