五角星五点共圆

结论

Miquel's pentagon theorem 描述的是五角星构型中的一个五点共圆现象：围绕五个分支三角形作外接圆后，相邻分支圆还会产生五个外侧交点 $K、L、M、N、O$，这五点共圆。

说明：

• $A、B、C、D、E$ 是五角星的五个外顶点。
• $F、G、H、I、J$ 是五角星内部交点，它们位于图中的中央蓝色圆上。
• 五个分支三角形分别作外接圆；相邻分支圆的另一组交点为 $K、L、M、N、O$。
• 定理断言：$K、L、M、N、O$ 五点共圆。

证明思路

这个图先使用正五角星的对称模型展示结论。由于五个分支结构由 $72^\circ$ 旋转对称互相得到，每一个外侧 Miquel 点到中心的距离相同。因此 $K、L、M、N、O$ 落在同一个以中心为圆心的圆上。

一般情形下，Miquel 定理可用于相邻三角形的外接圆交点追踪。沿五边形循环应用同向角关系，可以推出最后得到的五个 Miquel 点具有同一圆周角结构，从而共圆。